弊学教授作のVVVF波形を評価してみた

弊学の廊下を歩いていると…
おや！なにやら怪しいものが…！（図1）

これは見るからにインバータの波形…！！！

上に電圧形2レベル三相インバータの回路が書いてあるので、三相インバータ関連の波形でしょうか？
どうやらこのポスター、話によるとワイの担任が作ったそうです。研究室前に貼ってありました。なんで作ったのかは真意は謎ですが、いろいろ気になるので、ちょいと解析をかけてみましょう。

ゆる〜く解析していく！

スイッチング角度の読み取り

同期PWMとして解析を行います。まず図2の要領で図1のスイッチング角度を読み取ります。

同期PWMの波形は対称なので、 $1/4$ 周期分を読み取れば良いのです。写真のピクセル数から角度を読み取っていくと、以下の表1のように読み取ることができました。なお写真の傾きについては補正をかけていません。…どうせそんな変わらんやろ！

表1 スイッチング角度

番号	角度 [deg]
$\alpha_{1}$	8.48
$\alpha_{2}$	12.5
$\alpha_{3}$	17.7
$\alpha_{4}$	24.7
$\alpha_{5}$	29.5
$\alpha_{6}$	37.3
$\alpha_{7}$	43.5
$\alpha_{8}$	55.0
$\alpha_{9}$	60.9
$\alpha_{10}$	75.6
$\alpha_{11}$	81.2

基本波振幅の導出

図2の波形をフーリエ級数展開をするときの要領で図1の波形が連続するとしてフーリエ級数展開を適用すると、 $n$ 次高調波の振幅 $H(n)$ は(eq.1)になります。（母線電圧=1として正規化しています。）

$H(n) = \dfrac{4}{n} \{ \cos n\alpha_{1} - \cos n\alpha_{2}$

$+ \cos n\alpha_{3}... \cos n\alpha_{11} \} \tag{eq.1}$

(eq.1)から、図1の波形の基本波振幅 $H(1)=0.858$ となり、1パルスモードの基本波振幅 $4/\pi$ を $100\%$ として正規化すると、 $67.4\%$ となります。

なお、写真には基本波らしき正弦波が一緒に描かれていて、これの振幅をピクセル数から読み取ると、 $0.622$ となり、 $H(1)=0.858$ と比べると、 $38\%$ 近くの誤差があることがわかります。

$H(1)=0.858$ というのを踏まえて基本波の正弦波を赤線で描くと、図3のようになります。

また、3倍調波が0ではないことから、PWM波形は3レベルインバータの相電圧であることがわかります。2レベルインバータの線間電圧には3倍調波は含まれないはずだからです。

上に描いてある回路は2レベルだということを考慮すると、2レベルインバータの線間電圧のつもりで描いたのでしょうか。

THDの導出

電流THD $I_{THD}$ は、電動機一相あたり実効漏れインダクタンスを $1$ 、基本波角周波数を $1$ とすると、(eq.2)となります。

$I_{THD}=\sqrt{\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=2}^{∞}\left( \dfrac{H(n)}{n}\right) ^2} / H(1) \tag{eq.2}$

図1の波形は対称なので、 $2n$ 次高調波は除いて考えると、 $I_{THD}=0.0765$ となります。また、線間電圧を考えると、 $3n$ 次高調波は除去されるので $I_{THD}=0.0386$ となります。これが小さいほど、よいPWM波形だと言えます。

ベクトル軌跡の導出

電圧を時間積分して電流0時の磁束の軌跡っぽいものを出してみます。図4のようになりました。

理想ではこの形は円になります。円形に近いほど、リプルが少ないと言えます。

サブハーモニック法と比較

一般的なサブハーモニック法のPWM波形と比べてみましょう。21パルスモードで $H(1)=0.858$ の相電圧の波形は図4のようになります。角度の数は11角度で図1とちゃんと一緒です。

THDを出してみましょう。まず、図5の波形（相電圧）は $I_{THD}=0.0264$ となり、線間電圧を考えると、 $3n$ 次高調波は除去されるので $I_{THD}=0.0102$ となります。

これは、先ほど導出した $I_{THD}$ より数倍小さいです。つまり、図1の波形は、一般的なサブハーモニック法よりはるかに劣っているPWM波形だと言えます。

磁束の軌跡っぽい形も比べてみましょう。図6にそれぞれの磁束の軌跡っぽい形を示します。左側が先ほど導出した図1の磁束の軌跡っぽいもの、右側が21パルスモードの磁束の軌跡っぽいものです。

図6からも図1の波形が一般的なサブハーモニック法に比べてはるかに劣っているPWM波形だということが分かります。

なるべく同等な評価結果となるようなパルス数を求めると、9パルス（キャリア反転、4角度）の $I_{THD}=0.027438$ となりました。（これでも1歩及ばず…）つまり、図1の波形は $1/2$ 〜 $1/3$ 以下のスイッチング周波数のサブハーモニック法と同等くらいの品質なのです。例えるならば、「人一倍以上努力しないと1人前になれない」みたいなことです。